LIMIT BARISAN

DEFINISI LIMIT BARISAN

Misalkan X=(x_n) suatu barisan. Bilangan real x disebut limit barisan X=(x_n), jika untuk setiap e>0, terdapat bilangan asli K(e) sehingga untuk setiap n³K(e), suku-suku x_n berada pada lingkungan- e dari x ( V_e(x)).

Selanjutnya jika barisan X memenuhi definisi di atas, dikatakan X=(x_n) konvergen ke x atau limX=x atau lim (x_n) = x atau x_n ®x.

Dari definisi barisan dapat diperoleh hasil bahwa jika ada, LIMIT BARISAN adalah UNIK.

Dan TIDAK SEMUA BARISAN PUNYA LIMIT.

Definisi barisan di atas hanyalah untuk menguji apakah suatu titik merupakan limit barisan atau bukan. Sehingga dengan mengambil pernyataan kontraposisi dari definisi diperoleh, Bilangan t bukan limit dari barisan X=(x_n) jika terdapat bilangan positif tertentu d sedemikian sehingga untuk sebarang bilangan asli K, terdapat bilangan asli m> K, sedemikian sehingga | x_m – t | ³ d.

Teorema ( untuk memudahkan mengidentifikasi suatu bilangan merupakan limit barisan atau bukan )

MISAL X=(x_n) barisan, dan x bilangan real. PBE :

(a) X konvergen ke x

(b) Untuk setiap lingkungan- e dari x ( V_e(x)), terdapat bilangan asli K(e) sehingga untuk setiap n³K(e), suku-suku x_n berada pada lingkungan- e dari x ( V_e(x)).

(c) Untuk setiap e>0, terdapat bilangan asli K(e) sehingga untuk setiap n³K(e), suku-suku x_n memenuhi |x_n-x|

(d) Untuk setiap e>0, terdapat bilangan asli K(e) sehingga untuk setiap n³K(e), suku-suku x_n memenuhi x-e< x_n

Dengan teorema ini dapat dijelaskan mengapa:

, , , juga dengan menentukan negasi dari teorema ini dapat digunakan untuk menjelaskan bahwa barisan ( 0,9,0,9,0,…) tidak konvergen ke 0, atau 9 atau bahkan ke suatu bilangan real manapun.

Untuk mengidentifikasi limit barisan selain menggunakan definisi dapat dilakukan dengan mendefinisikan EKOR DARI SUATU BARISAN.

Untuk mengidentifikasi limit barisan selain menggunakan definisi dapat dilakukan dengan mendefinisikan EKOR DARI SUATU BARISAN.
DEFINISI
X=(x_n) = ( x₁, x₂, …) barisan dan m suatu bilangan asli, ekor-m dari X adalah barisan yang ditulis sebagai
X_m= (x_m+n : nÎN)

Teorema (yang mengaitkan kekonvergenan barisan dan ekornya)
Suatu barisan konvergen jika dan hanya jika ekor barisannya konvergen.
Ini berguna salah satunya untuk menguji kekonvergenan barisan X=( 3,5,6,7,1,45,67, ½ , 1/3 , ¼, 1/5 , 1/6 ,… )
Teorema ( menguji konvergensi barisan dengan dominasi barisan yang menuju 0 mulai suku tertentu)
Misal A= (a_n) dan X=(x_n) barisan, dan x bilangan real . Jika C>0 dan untuk suatu bilangan asli m, dipenuhi |x_n – x|£C|a_n| untuk setiap bilangan asli n yang lebih besar atau sama dengan m, dan lim(a_n)= 0, maka lim(x_n)=x.
Ini berguna untuk menyelidiki kekonvergenan barisan Y= atau barisan Y=.
Juga untuk menunjukkan bahwa lim(bⁿ)=0, untuk 0<1, juga lim=1, untuk c>0.