BARISAN DIVERGEN SEJATI

Sebelum ini, berdasarkan definisi kekonvergenan barisan, suatu barisan dikatakan konvergen jika barisan tersebut “menuju” ke suatu bilangan real tertentu. Sehingga barisan (xn) = ( n) dikatakan tidak konvergen, walaupun secara intuisi menuju ke sesuatu bilangan yang besar. Di pihak lain dari karakteristik barisan divergen pada hakekatnya bisa digolongkan menjadi dua kategori yaitu karena fakta barisan tersebut “menuju” ke suatu “bilangan yang besar” atau karena punya dua subbarisan yang “menuju” pada dua arah ( titik ) yang berbeda. Untuk itulah perlu dibahas ketidakkonvergenan jenis pertama yang disebut Barisan Divergen Sejati .

Berikut ini definisi dan teoremanya.

Definisi

Misalkan (xn) barisan bilangan real.

(a) Barisan (xn) disebut menuju ke +¥, dan ditulis lim(xn)= + ¥, jika untuk setiap a di R, terdapat bilangan asli K sedemikian sehingga jika n ³ K, berlaku xn > a

(b)Barisan (xn) disebut menuju ke -¥, dan ditulis lim(xn)= – ¥, jika untuk setiap bÎ R, terdapat bilangan asli K sedemikian sehingga untuk n ³ K, berlaku xn < b. Selanjutnya suatu barisan (xn) disebut divergen sejati jika lim(xn)= +¥, atau lim(xn)= – ¥. Teorema Suatu barisan bilangan real yang monoton merupakan barisan divergen sejati jika dan hanya jika tidak terbatas. (a) Jika barisan (xn) merupakan barisan naik tak terbatas, maka lim(xn)= +¥, (b)Jika barisan (xn) merupakan barisan turun tak terbatas, maka lim(xn)= -¥. Teorema Misalkan (xn) dan (yn) adalah dua barisan bilangan real dan memenuhi sifat xn £ yn untuk setiap bilangan asli n. (a) Jika lim(xn)= +¥, maka lim(yn)= +¥. (b)Jika lim(yn)= -¥, maka lim(xn)= -¥. Teorema Misalkan (xn) dan (yn) adalah dua barisan bilangan real dan untuk suatu bilangan real L, L > 0 memenuhi sifat . Maka lim(xn)= +¥, jika dan hanya jika lim(yn)= +¥.

Contoh-contoh topik barisan monoton

1. Misalkan barisan Y=(yn) didefinisikan secara induktif sbb, y1=1, yn+1= untuk n³1. Akan ditunjukkan bahwa limit barisan ini adalah 3/2.

Dari beberapa suku dapat ditunjukkan bahwa nilai suku-suku yang lebih besar, selalu lebih besar dibanding suku sebelumnya. Untuk itu ada kemungkinan kekonvergenannya dapat ditunjukkan melalui sifat barisan yang monoton ( turun/naik) dan terbatas (di bawah/di atas).

• Penyelidikan kemonotonan naik ( karena dari penyelidikan beberapa suku )

Akan ditunjukkan bahwa berlaku yn£yn+1, untuk setiap bilangan asli n, dengan menggunakan induksi matematika. Yang pertama perhatikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=1, yaitu benar bahwa y1=1£=y2. Selanjutnya asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu yk£yk+1. Dan berdasarkan ini harus ditunjukkan bahwa pernyataan benar untuk n=k+1, yaitu dibuktikan bahwa yk+1 £ yk+2. Perhatikan bahwa dari rumus barisan, yn+1=<=yn+2. Dari rangkaian bukti ini dapat disimpulkan bahwa barisan Y adalah barisan monoton naik. Selanjutnya akan diselidiki apakah barisan ini terbatas di atas.