BARISAN MONOTON

Untuk menyelidiki kekonvergenan suatu barisan dapat juga dikaitkan dengan sifat kemonotonan barisan tersebut. Berikut ini bebrapa hasil hubungan antara kemonotonan barisan dengan karakteristik kekonvergenannya.

Definisi

Suatu barisan X=(xn) disebut barisan naik jika memenuhi x1 £ x2 £ …£xn £ …, sedangkan disebut barisan turun jika memenuhi x1 ³ x2 ³ …³ xn ³…. Kemudian suatu barisan disebut monoton jika barisan tersebut naik atau turun saja.

Teorema Konvergensi Monoton

Barisan bilangan real monoton merupakan barisan konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut terbatas.Selanjutnya

(a) Jika x=(xn) merupakan barisan naik yang terbatas , maka lim(xn) = sup{xn}.

(b)Jika Y=(yn) merupakan barisan turun dan terbatas, maka lim(yn) = inf{yn}.

Beberapa keguanaan teorema tersebut adalah sbb.

-->

SUBBARISAN

Setelah ditinjau tentang hubungan kekonvergenan suatu barisan dengan sifat kemonotonannya, salah satu karakteristik barisan yang dapat dipakai untuk meninjau kekonvergenannya adalah dengan melihat karakteristik subbarisannya. Berikut ini definisi dan teorema tentang hal tersebut.

Definisi subbarisan

Misalkan X=(xn) suatu barisan dan r1 < r2 < …< rn < … barisan bilangan asli yang naik murni. Suatu barisan X’ yang didefinisikan sebagai disebut sebagi subbarisan dari barisan X. Kaitan kekonvergenan dari barisan dan subbarisannya dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema Misalkan barisan bilangan real X=(xn) konvergen ke bilangan real x, maka setiap subbarisan dari X juga konvergen ke x. Kemudian untuk menyatakan ketidak konvergenan suatu barisan dapat dipergunakan kriteia kedivergenan barisan yang mengkaitkannya dengan subbarisannya, seperti dalam teorema berikut. Teorema Kriteria Divergensi Barisan Misalkan X=(xn) suatu barisan bilangan real. Pernyataan berikut ekivalen. (1)Barisan X=(xn) tidak konvergen pada bilangan real x. (2)Terdapat suatu e > 0 sedemikian sehingga untuk setiap kÎ N, terdapat mÎ N sedemikian sehingga m³ K dan | xm – x | ³ e.

(3)Terdapat suatu e < 0, dan subbarisan X’ = dari X sedemikian sehingga berlaku

, untuk setiap nÎN.

Untuk mengkaitkan subbarisan, kemonotonan barisan dan kekonvergenan suatu barisan, berikut teorema tentang jaminan adanya subbarisan yang monoton. Yang pertama walaupu barisannya tidak terbatas tetap mempunyai subbarisan yang terbatas, ini penting karena dengan adanya sifat terbatas ada kemungkinan barisannya konvergen.

Teorema Subbarisan yang Monoton

Misalkan X=(xn) suatu barisan bilangan real, maka terdapat subbarisan dari X yang terbatas.

Berdasarkan teorema ini diperoleh jaminan adanya subbarisan yang konvergen, walaupun mungkin barisan tersebut tidak konvergen.

Teorema Bolzano-Weierstrass

Barisan bilangan real yang terbatas selalu mempunyai subbarisan yang konvergen.

Melengkapi teorema hubungan antara barisan dan subbarisannya dalam kaitan dengan kekonvergenannya yang telah diungkap di depan, diperoleh teorema berikut.

Teorema

Misalkan X barisan bilangan real yang terbatas dan misalkan xÎ R, serta memenuhi kondisi untuk setiap subbarisan dari barisan X konvergen ke x, maka barisan X konvergen ke x.

Dari teorema ini, dengan kata lain bahwa kekonvergenan suatu barisan dapat diperoleh dari kekonvergenan subbarisannya asalkan memenuhi kondisi setiap subbarisan dari barisan X konvergen ke suatu bilangan tertentu yang sama.

definisi barisan tak terbatas