Dalam membahas kekonvergenan barisan, terdapat satu jenis barisan yang dapat membantu dalam penentuan kekonvergenan suatu barisan. Barisan ini seringkali disebut sebagai barisan Cauchy. Berikut definisi serta karakteristik barisan Cauchy dan juga kaitannya dengan kekonvergenan barisan.
Definisi Barisan Cauchy
Suatu barisan bilangan real X=(xn) disebut barisan Cauchy, jika untuk setiap e > 0, terdapat bilangan asli H, sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli n,m ³H , maka berlaku | xn – xm| < e.
Teorema
Jika X=(xn) suatu barisan bilangan real yang konvergen, maka barisan X merupakan barisan Cauchy.
Teorema
Setiap barisan Cauchy merupakan barisan yang terbatas.
Kriteria Kekonvergenan Cauchy
Barisan bilangan real X konvergen jika dan hanya jika barisan X merupakan barisan Cauchy.
Satu jenis barisan lagi yang berkaitan erat dengan kekonvergenan adalah barisan Kontraktif. Berikut definisi dan teorema yang berkaitan dengan karakteristik kekonvergenan barisan.
Definisi Barisan Kontraktif
Barisan bilangan real X=(xn) disebut barisan kontraktif, jika terdapat kontanta C, dengan 0 < C < 1, sedemikian sehingga | xn+2 – xn+1 | £ C| xn+1 – xn| untuk setiap bilangan asli n. Dan bilangan C disebut konstanta dari barisan kontraktif.
Teorema
Setiap barisan kontraktif merupakan barisan Cauchy, sehingga merupakan barisan konvergen.
0 komentar:
Post a Comment