BEBERAPA TEOREMA TENTANG LIMIT

-->

Definisi barisan terbatas

Barisan X=(x_n) disebut terbatas jika terdapat bilangan real M>0, sehingga |x_n|£M untuk setiap nÎN

Teorema

Barisan konvergen adalah terbatas.

Sedangkan barisan terbatas belum tentu konvergen.

Teorema

-->

Jika X=(x_n) dan Y=(y_n) barisan bilangan real yang konvergen ke x dan y, c ÎR dan Z=(z_n) suatu barisan yang semua sukunya tak nol yang konvergen ke z , maka limX+Y= x+y, lim XY=xy, limX-Y= x-y, limcX= cx , dan limX/Z= x/z.

Teorema

Limit barisan non negatif adalah non negatif.

Teorema

Jika dua barisan X=(x_n) dan Y=(y_n) masing-masing konvergen dan x_n £ y_n untuk setiap bilangan asli n, maka limit (X)£ lim(Y).

Teorema

Jika X=(x_n) barisan konvergen dengan a£x_n£b, untuk setiap bilangan asli n, maka a£lim(x_n)£b

Teorema

Jika X=(x_n) dan Y=(y_n) Z=(z_n) barisan bilangan real dengan x_n £ y_n £z_n untuk setiap bilangn asli n, dan lim(x_n)=lim(y_n), maka Y konvergen dan lim(x_n)=lim(y_n)=lim (z_n)

Dari teorema-teorema tersebut dapat dikaji kekonvergenan barisan-barisan berikut.

1. Barisan (n) adalah divergen
2. Barisan ((-1)ⁿ) divergen
3. lim=2 d. lim=2

e. lim=0 f. lim=0

Teorema

Misalkan barisan X=(x_n) konvergen ke x, maka barisan (|x_n|) konvergen ke |x|.

Teorema

Misalkan barisan X=(x_n) konvergen ke x dan x_n ³ 0, maka barisan () konvergen ke .

Teorema Limit Hasil Bagi Suku-suku Barisan

Misalkan barisan X=(x_n) bernilai positif pada tiap sukunya dan ada. Jika L < 1, maka barisan (x_n) konvergen ke 0.

Soal section 3.2

1. Selidiki kekonvergenan barisan berikut.

(a) x_n =(b) x_n = (c) x_n =(d) x_n =

1. Beri contoh dua barisan divergen yang jumlahnya konvergen.
2. Beri contoh dua barisan divergen yang hasilkalinya konvergen.
3. Tunjukkan bahwa jumlah dua barisan konvergen selalu konvergen.
4. Jika barisan X konvergen ke suatu bilangan yang tidak nol, hasilkalinya dengan barisan Y, konvergen, maka barisan Y konvergen.
5. Tentukan limit barisan berikut.

(a) x_n= (b)x_n= (c)x_n=(d)x_n =

7. Dari barisan y_n= untuk nÎN, tunjukkan bahwa

barisan (y_n) dan (y_n) konvergen.

1. Jika 0<1, dan b>1, selidiki kekonvergenan barisan

(a) x_n=(aⁿ) (b) x_n= (c) x_n= (d) x_n=

1. 9. Misalkan barisan X=(x_n) bernilai positif pada tiap sukunya dan > 1, maka barisan (x_n) merupakan barisan divergen. Bagaimana jika L=1 ?
2. Jika 0<1, dan b>1, selidiki kekonvergenan barisan

(a) x_n=(n²aⁿ) (b) x_n= (c) x_n= (d) x_n=



definisi barisan tak terbatas